拿破仑是法国著名的军事家、政治家。被人誉为“常胜将军”，然而最后，他遭遇了一次惨烈的失败——滑铁卢之战，打败他的，是一位名叫惠灵顿的英国将军。
战争前期，惠灵顿率领的英国军队被拿破仑的军队打符落荒而逃。当时正下着一场大暴雨，总灵顿只好率领遭受重创的士兵逃进了一处破旧的小屋子。
想到自己接二连三的失败，惠灵顿不由得心灰意冷。正在他黯然神伤的时候，突然看见屋角有一只蜘妹正在努力地结网。
风很大，那张辛辛苦苦织就的网很快被吹破了，蜘蛛又重新忙了起来。没多久，细弱的丝线一会儿又被风吹破了。可是，蜘蛛毫不气馁，还是忙个不停，就像是铁了心要和风较劲一样。
就这样，蜘蛛反反复复地织网………最后，风终于小了下来，细蛛也完成了它的“杰作”。
看到这只愈挫愈勇的蜘蛛，惠灵顿想到了自己在战场上的命运，不禁感叹道：“一只蜘蛛都不轻易放弃，我有什么理由气馁呢？”于是，他马上召集军队，重整旗鼓，并最终在滑铁卢战役中大胜拿破仑。
面对狂风，蜘蛛们很容易功亏一簧，但是它仍然义无反顾地执着结网，直到实现目标。失败并不可怕，可怕的是在经历失败后，再也没有站起来的力量，成为了永恒的失败者。
而一个真正的成功者，会坚信坚持就是胜利，失败算什么，从头再来一次。这样的人，总有一天，会像这只蜘蛛一样，结出属于自己的漂亮的网来！
我们学习因式分解也如此，因式分解方法灵活多变，有时我们不能尽快分解出结果或灵活应用，尤其有时犯了分解不彻底毛病而导致出错。
因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望能给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法，考试也以这两种方法为主。
因式分解及其基本方法：
1．因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解．
2．因式分解与整式乘法的关系
在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则：
（1）结果一定是乘积的形式；
（2）每一个因式都是整式；
（3）相同因式的积要写成幂的形式；
（4）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；
（5）没有大括号和中括号；
（6）单项式因式写在多项式因式的前面；
（7）多项式因式第一项系数一般不为负；
（8）如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止．
3．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
公因式的确定
(1)系数：取各项系数的最大公约数；
(2)字母：取各项相同的字母；
(3)指数：取各项相同字母的最低次数．
4．运用公式法
因式分解的一般步骤
典型问题
（1）首先提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式（a﹣b），进而利用平方差公式分解因式即可；
（4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
变式2．（春娄底月考）甲、乙两人在因式分解+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么b﹣a的值为（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．2
甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，
由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
因此b的值是正确的，即b＝6×（﹣2）＝﹣12；
由于乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
因此a的值是正确的，即a＝﹣8+4＝﹣4，
所以b﹣a＝﹣12﹣（﹣4）＝﹣8，故选：A．
例3．（春渌口区期中）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，5，+1，a，x+1，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．
变式1．（春江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝﹣（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（春新田县期中）在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式+﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2）．当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码．
（1）根据上述方法，当x＝28，y＝11时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成数字密码： ．
（1）由题干方法对其分解因式代入计算即可；（2）应用逆向思维，根据密码数写出原式的因式分解，再进行整式乘法运算，从而列出m、n的方程进行解答便可．
例4．（春金坛区期中）已知x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．
（1）求xy的值；
变式2．（九龙坡区模拟）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．
例5．（春郫都区期中）阅读材料：
上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）先配方后利用平方差公式进行因式分解．（2）配方后根据平方非负性求最小值．（3）配方后根据非负性求出a，b，c的值．
例6．（春兰州期中）（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。
1.巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1．（春东海县期中）阅读与理解：
（1）先阅读下面的解题过程：
所以只有当m﹣2＝0并且n+3＝0上式才能成立．
因而得：m＝2并且n＝﹣3．
请你参考上面的解题方法解答下面的问题：
（1）把﹣12写成4与﹣16和的形式，仿照题例先套用完全平方公式，再套用平方差公式；
（2）把52写成16与36和的形式，仿照题例利用完全平方公式把方程写成两个代数式平方和的形式，先利用非负数的和为0求出x、y，再代入求代数式的值．
2、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2．（春澧县期中）阅读与思考
任务：
（1）请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
（2）已知a+b＝2，ab＝﹣4，求a3+b3的值．
3、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
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